contoh soal induksi matematika dengan penyelesaian
1. contoh soal induksi matematika dengan penyelesaian
Materi : Induksi Matematika
2. contoh soal induksi matematika dan penyelesaiannya
Contoh Soal Berupa Lampiran
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Kelas : XI [Kurikulum 2013 Revisi]
Mata Pelajaran : Matematika
Kode Mapel : 2
Kategori : Bab 1 - Induksi matematika [Kurikulum 2013 Revisi]
Kode kategorisasi : 11.2 [Kelas 11, Kode Mapel 2]
Soal serupa dapat dilihat di,
brainly.co.id/tugas/4222426
#backtoschoolcampaign
3. selesaikan soal berikut dengan induksi matematika
Jawaban:
untuk setiap n E bik Asli, 11n-6habis di bagi 5 hasil nya 1
4. buatlah contoh soal induksi matematika kelas XI!!!
buktikan bahwa
1+3+5+...+(2n-1)=n²
untuk jumlah n bilangan ganjil pertama adalah n²!
5. buatlah 3 contoh soal cerita induksi matematika?
1) Prinsip Induksi Matematika (Lemah)
Prinsip ini dinyatakan dengan P(n) adalah suatu pernyataan tentang suatu bilangan asli n, dan q adalah suatu bilangan asli yang tertentu (fixed).
Maka bukti induktif bahwa P(n) adalah benar untuk semua n ≥ q dilakukan melalui 2 (dua) langkah berikut:
a. Langkah awal: Tunjukkan bahwa P(q) adalah benar.
b. Langkah induksi: Tunjukkan bahwa untuk k 2 q bilangan asli, jika P(k) benar, maka P(k+1) juga benar.
Dari dua langkah di atas, maka terbukti bahwa P(n) benar untuk semua bilangan asli n ≥ q. Induksi matematika versi ini dikatakan lemah, karena pada langkah induksinya mengasumsikan P(n) benar untuk satu n saja.
Lemah di sini tidak berarti bahwa bukti yang ditampilkan kurang akurat.
Contoh soal induksi matematika (lemah)
Perhatikan contoh soal induksi matematika berikut ini.
Tunjukkan bahwa 1+2+3+...+n=½n(n+1) untuk semua n bilangan asli.
Pembahasan:
Misalkan P(n) adalah pernyataan bahwa 1+ 2+ 3+ ... + n/2 n(n+1). Tujuan kita adalah menunjukkan bahwa pernyataan P(n) tersebut benar untuk semua n bilangan asli.
Langkah awal: Kita harus menunjukkan bahwa P(1) benar. Dalam hal ini P(1) adalah pernyataan yang bunyinya 1=1(1+1), yang tentu saja benar. Jadi P(1) benar.
Langkah Induksi: Kita harus menunjukkan bahwa jika P(k) benar, P(k+1) juga benar.
Dalam hal ini jika, 1 + 2 + 3 + ... + k = 1/2 k(k+1) apakah 1 + 2 + 3 +...+ k + (k+ 1) = ½ (k+ 1) (k+1+1)= ½ (k+1)(k+2)?
Tentu saja 1+2+3+...+k+ (k+1)= ½ k(k+1) + (k+1) = (k+1)[2k + 1] = (k+1) (k+2) = ½ (k+1) (k+2).
Jadi jika P(k) benar, ternyata P(k+1) juga benar. Dengan dua bukti tersebut maka P(n), pernyataan bahwa 1+2+3+...+ n = ½ n(n+1) adalah benar untuk semua n bilangan asli.
2) Prinsip Induksi Matematika (Kuat)
Dalam hal ini, proses induksi tidak cukup hanya menunjukkan bahwa jika pernyataan P benar untuk satu kasus k ≥ q tapi juga benar untuk pernyataan k+1, yaitu pernyataan P(k+1).
Dalam hal tersebut harus ditunjukkan bahwa P benar untuk semua kasus P(q+1), P(q+2), P(q+3),..., P(k).
Jadi proses pembuktian Induksi Matematika secara kuat (strong mathematical induction) bahwa P(n) benar untuk semua n ≥ q adalah sebagai berikut:
a. Langkah awal: Tunjukkan bahwa P(q) benar
b. Langkah induktif: Tunjukkan bahwa untuk k 2 q, jika P(q+1), P(q+2), P(q+3), ..., dan P(k) benar, maka P(k+1) juga benar.
Proses pembuktian ini adalah kuat dalam artian bahwa dalam langkah pembuktian induktifnya. Kita memiliki lebih banyak informasi dibandingkan dengan pembuktian yang sifatnya lemah.
Contoh soal induksi matematika (kuat)
Tunjukkan bahwa setiap bilangan asli lebih dari 1 dapat dinyatakan sebagai hasil kali atas faktor-faktor primanya.
Pembahasan:
Misalkan P adalah pernyataan bahwa setiap bilangan asli lebih dari 1 dapat dinyatakan sebagai hasil kali atas faktor-faktor primanya. Tentu saja P(2) benar.
Andaikan P(3), P(4), P(5), ..., P(k) benar. Bagaimana menunjukkan bahwa P(k+1) juga benar?
Jika (k+1) adalah bilangan prima, maka P(k+1) benar. Jika (k+1) bukan bilangan prima, maka k+1 = mn, dengan m dan n bilangan-bilangan asli kurang dari k.
Dengan pengandaian sebelumnya maka, m dan n tentu saja bisa dinyatakan sebagai produk dari bilangan-bilangan prima. Sebagai akibatnya, (k+1) juga merupakan hasil kali dari bilangan-bilangan prima.
Itulah contoh soal induksi matematika lengkap dengan pembahasannya. Selamat belajar!
6. contoh soal induksi matematika pada keterbagian
Jika a|b maka a|bc untuk c bilangan bulat sebarang
Contoh:
a|b →a|b x c,∀c∈{…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…}ika a|b dan b|c maka a|c
⚫ Bukti:
a|b →∃k∈B∋b = ak
b|c →∃l∈B∋c = bl
c = b.l
c = ak .l ∃ kl∈B
a|c (Terbukti)
Contoh:
2|4 dan 4|8→2|8
a|b → ∃k∈B∋b = ak dikali x jadi bx = akx ............ (1)
a|c → ∃l∈B∋c = al dikali y jadi cy = aly ................(2)
dari (1) dan (2) didapat :
bx+cy = akx + aly
= a(kx+ly)
Jika (kx+ly) = z maka (bx+cy) = az (z bilangan bulat) sehingga a|(bx+cy)
7. soal matematika induksi matematika
Induksi di atas menunjukkan penjumlahan bilangan hasil (2k - 9)(k - 7) dengan k sama dengan 8 sampai 11.
(2(8) - 9)(8 - 7) + (2(9) - 9)(9 - 7) + (2(10) - 9)(10 - 7) + (2(11) - 9)(11 - 7)
= (7)(1) + (9)(2) + (11)(3) + (13)(4)
= 7 + 18 + 33 + 52
= 110
[tex]\boxed{\text{Kelas: 12}}[/tex]
[tex]\boxed{\text{Pelajaran: Matematika}}[/tex]
[tex]\boxed{\text{Kategori: Barisan/Deret}}[/tex]
[tex]\boxed{\text{Kode: 12.2.7}}[/tex]
[tex]\boxed{\text{Kata Kunci: induksi}}[/tex]
8. Selesaikan Induksi Matematika ini 1²+ 2²+ 3² + ... 14²=....
Jawaban:
10Penjelasan dengan langkah-langkah:
1098
345
27901
26810
9. contoh soal induksi matematika dalam kehidupan sehari-hari
efek domino yang disusun lalu dijatuhkan sehingga domino yang ada didepannya jatuh juga
10. Contoh soal induksi matematika untuk pembuktian ketidaksamaan
175+3000-750=3175-750=2425cm
11. contoh beberapa induksi matematika
Jawaban:
berisi tentang rumus atau teknik pembuktian dalam matematika. Teknik induksi matematika diperkenalkan oleh De Morgan pada abad ke-19.
Dikutip dari buku 'Matematika Diskrit' karya Gede Suweken, induksi matematika memiliki dua prinsip yakni prinsip induksi lemah dan prinsip induksi kuat
Penjelasan dengan langkah-langkah:
maaf klo salah
12. Contoh 5 Soal Induksi Matematika Beserta Pembahasan...
mau jawab apa kalo gak ada soalnya
13. cari lah contoh soal tentang induksi matematika !!jawab cepet plis hari ini harus di kumpul
Jawaban:
matematika adalah untuk melatih otak
14. Bantu dong soal induksi matematika
semoga bisa membantuuu
15. induksi matematika pengertian dan contoh
Induksi matematika merupakan teknik pembuktian yang baku dalam matematika
16. Induksi MatematikaSoal no f
Matematika Wajib
Induksi Matematika XI SMA
Pembahasan :
Terlampir...Materi induksi matematika
<<<
yg plg atas itu coretan (jgn dicatat)
17. contoh masalah dalam kehidupan sehari-hari yang bisa diselesaikan dengan induksi matematika
Jawaban:
penjelasan jawaban ada diatas gambar anda bisa mengeklik gambarnya
18. bei contoh soal induksi matematika diperluas
Induksi matematik merupakan teknik pembuktian yang baku di dalam matematika, khususnya yang menyangkut bilangan bulat positif. Melalui induksi matematik kita dapat mengurangi langkah-langkah pembuktian bahwa semua bilangan bulat termasuk ke dalam suatu himpunan kebenaran dengan hanya sejumlah langkah terbatas.
Misal salah satu contohnya adalah induksi matematik untuk membuktikan kebenaran program.
function Exp2(N:integer, M: integer )
{menghitung N2M }
Algoritma:
R ← 1
k ← 2*M
While (k > 0)
R ← R * N
k ← k – 1
end
return R
{ Computes : R = N2MLoop invariant : R x Nk = N2M}
Buktikan algoritma di atas benar dengan induksi matematika (semua variabel menggambarkan bilangan bulat non negatif)
Misal Rn dan Kn adalah nilai berturut-turut dari R dan K, setelah melewati loop while sebanyak n kali, n ≥ 0.
Misalkan p(n) adalah pernyataan: Rn x NKn = N2M , n ≥ 0. Akan ditunjukkan bahwa p(n) benar dengan induksi matematika
(i) Basis:
Untuk n = 0, maka R0 = 1, K0= 2M adalah nilai variabel sebelum melewati loop. Maka pernyataan p(0): R0 x NK0 = N2M1 x N2M = N2M adalah benar
(ii) Langkah Induksi
Asumsikan bahwa p(n) adalah benar untuk suatu n ≥ 0 setelah melewati loop n kali. Sehingga pernyataan p(n) dapat ditulis : Rn x NKn = N2M .
Harus ditunjukkan bahwa untuk satu tambahan loop, makaRn+1 x NKn+1 = N2M
Hal ini ditunjukkan sebagai berikut:
Setelah satu tambahan melewati loop,
Rn+1 = Rn x N dan Kn+1 = Kn – 1 maka
Rn+1 x NKn+1 = (Rn x N) x NKn – 1 (dari hipotesis)
= (Rn x N) x NKn x N-1= Rn x NKn
= N2MJadi, Rn+1 x NKn+1
= N2M
Sehingga p(n+1) menjadi benar. Karena itu, dengan prinsip dari induksi matematika, p(n) adalah benar untuk setiap n ≥ 0.
19. soal dan jawaban induksi matematika
Jawaban:
Jenis Induksi Matematika
Deret Bilangan
Sebagai ilustrasi dibuktikan secara induksi matematika bahwa 1 + 2 + 3 + \cdots + n = \frac{1}{2}n(n + 1).
Langkah 1
untuk n = 1, maka :
1 = \frac{1}{2}n(n + 1)
1 = \frac{1}{2}(1)(1 + 1)
1 = 1
Bentuk untuk n = 1 rumus tersebut benar.
Langkah 2
Misal rumus benar untuk n = k, maka:
1 + 2 + 3 + \cdots + k = \frac{1}{2}k(k + 1)
Langkah 3
Akan dibuktikan bahwa rumus benar untuk n = k + 1. Sehingga:
1 + 2 + 3 + \cdots + k + (k + 1) = \frac{1}{2} (k + 1)((k + 1) + 1)
Pembuktiannya:
1 + 2 + 3 + \cdots + k + (k + 1) = \frac{1}{2} k(k + 1) + (k + 1) (dalam langkah 2, kedua ruas
ditambah k + 1)
= \frac{1}{2}k (k + 1) +\frac{1}{2} [2(k + 1)] . (k + 1) dimodifikasi menyerupai \frac{1}{2} k (k + 1))
= \frac{1}{2}[k(k + 1) + 2(k + 1)] (penyederhanaan)
= \frac{1}{2}(k^2 + k + 2k + 2)
= \frac{1}{2}(k^2 + 3k + 2)
1 + 2 + 3 + \cdots + k + (k + 1) = \frac{1}{2} (k + 1)(k + 2) (terbukti)
Bilangan bulat hasil pembagian
Suatu bilangan dikatakan habis dibagi jika hasil pembagian tersebut adalah bilangan bulat. Sebagai ilustrasi, dibuktikan secara induksi matematika bahwa 5^{2n} + 3n - 1 habis dibagi 9.
Langkah 1
untuk n = 1, maka:
5^{2n} + 3n - 1 = 5^{2(1)} + 3(1) - 1
=5^2 + 3 - 1
= 27
27 habis dibagi 9, maka n = 1 benar.
Langkah 2
Misal rumus benar untuk n = k, maka :
5^{2n} + 3n -1 \overset {menjadi}{\rightarrow} 5^{2k} + 3k - 1 (habis dibagi 9)
5^{2k} + 3k - 1 =9b (b merupakah hasil bagi 5^{2k} + 3k - 1 oleh 9)
20. selesaikan soal berikut dengan Induksi Matematika
Penjelasan dengan langkah-langkah:
Nomor 1
1) n = 2 --> 2³-2 = 8 - 2 = 6
2) n = k --> k³- k = 3p
k³ = 3p + k
3) n = k+1 --> (k+1)³ - (k+1)
= (k+1)(k+1)(k+1)-(k+1)
= (k²+k+k+1)(k+1)-(k+1)
= (k²+2k+1)(k+1)-(k+1)
= (k³+k²+2k²+2k+k+1)-(k+1)
= (k³+3k²+3k+1) - (k+1)
= k³+3k²+3k+1-k-1
= k³+3k²+2k
= 3(k²)+k³+2k (klo ga salah si gini:))
nomor 2
1) n=1 --> 11¹-6 = 11 - 6 = 5 (benar)
2) n=k --> 11^k - 6 = 5p
11^k = 5p+6
3) n=k+1 --> 11^(k+1)-6 = 11^k . 11^1 - 6
= (5p+6)(11) - 6
= 55p + 66 - 6
= 55p + 60
= 5(11p+12)
21. Selesaikan dengan induksi matematika. Tolong bantuannya :)
Jawaban:
[tex]pn = \frac{ \sqrt{n \: } + 1 }{2 \sqrt{n} } \\ maka \frac{ \sqrt{n} + 1}{2 \sqrt{n} } < 2 \sqrt{n} \\ masing \: masing \: n \: dijadikan \: 1 \: maka \: akan \: terbukti[/tex] cuman menjawab yang nomor pertama
22. contoh soal induksi matematika
Contoh Soal Berupa Lampiran
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Kelas : XI [Kurikulum 2013 Revisi]
Mata Pelajaran : Matematika
Kode Mapel : 2
Kategori : Bab 1 - Induksi matematika [Kurikulum 2013 Revisi]
Kode kategorisasi : 11.2 [Kelas 11, Kode Mapel 2]
Soal serupa dapat dilihat di,
brainly.co.id/tugas/4222426
#backtoschoolcampaign
23. tuliskan soal induksi matematika dan penyelesaian nya kls Xl
Penjelasan dengan langkah-langkah:
soal.1+2+3+...+n=1/2n(n+1)
24. Soal tentang induksi matematika
Jawab:
Valid
Valid
Penjelasan dengan langkah-langkah:
Misal n = 2, 1+2 = 2(2+1)/2 = 3, Valid
Jika 1+2+...+n = n(n+1)/2, maka 1+2+...+n+n+1=(n+1)(n+2)/2
n(n+1)/2+(n+1) = (n+1) (n+2)/2
(n²+n)/2+(n+1) = (n²+3n+2)/2
(n²+3n+2)/2 = (n²+3n+2)/2, Valid
Misal n = 3, 2(3)+1 < 2³, Valid
Jika 2(n)+1 < 2ⁿ, 2 (n+1) + 1 < 2ⁿ⁺¹
2n+2+1 < 2ⁿ⁺¹
2ⁿ+2 = 2ⁿ⁺¹
2ⁿ⁺¹ = 2ⁿ⁺¹, Valid
25. soal induksi matematika
IndukSI
p(k) + n(k+1) = p(k+1)
Penjelasan dengan langkah-langkah:
[tex]\sf i^2 + 2^2 + 3^2+ . .. + n^2 = \frac{1}{6}(n)(n+1)(2n+1)[/tex]
[tex]\sf p(k) + n(k+1) = p(k+1)\\[/tex]
[tex]\sf \frac{1}{6}(k)(k+1)(2k+1) + (k+1)^2 = \frac{1}{6}(k+1)(k+1+1)(2(k+1) +1))[/tex]
[tex]\sf \frac{1}{6}(k)(k+1)(2k+1) + (k+1)^2 = \frac{1}{6}(k+1)(k+2)(2k+2 +1))[/tex]
[tex]\sf \frac{1}{6}(k)(k+1)(2k+1) + (k+1)^2 = \frac{1}{6}(k+1)(k+2)(2k+3)[/tex]
[tex]\sf \frac{1}{6}(k+1)\{ k(2k+1) + 6(k+1)\} = \frac{1}{6}(k+1)(k+2)(2k+3)[/tex]
[tex]\sf \frac{1}{6}(k+1)\{ 2k^2 + k+6k + 6\} = \frac{1}{6}(k+1)(k+2)(2k+3)[/tex]
[tex]\sf \frac{1}{6}(k+1)\{ 2k^2 +7k + 6\} = \frac{1}{6}(k+1)(k+2)(2k+3)[/tex]
[tex]\sf \frac{1}{6}(k+1)(k+2)(2k+3) = \frac{1}{6}(k+1)(k+2)(2k+3)[/tex]
terbukti ruas kiri=ruas kanan
terbukti untuk n bilangan asli
26. (tolong jawab nomer 2) selesaikan soal berikut dengan induksi matematika.
Penjelasan dengan langkah-langkah:
1) n=1 --> 11¹-6 = 11-6 = 5 (benar)
2) n=k --> 11^k - 6 = 5p
11^k = 5p + 6
3) n=k+1 --> 11^(k+1) - 6 = 11^k . 11^1 - 6
= (5p + 6)(11) - 6
= 55p + 66 - 6
= 55p + 60
= 5 (11p + 12)
Penjelasan dengan langkah-langkah:
nomor 2 coba km kerjakan sendiri dengan cara itu ^_^
27. Tolong bantu jawab soal induksi matematika dengan penyelesaiannya besok di kumpul
maaf kalau ada kesalahan :)
28. soal induksi matematika
Jawab:
1. Konstanta= A dipindahkan ke belakang ∑
2. ∑1 +∑2= atas ∑2, tengah ∑1,∑2, dan bawah ∑1
3. K² dipecah menjadi (k+1) (k+2) dan ditambah k=1 3-1 = 2 k=-2+1=k-1
4. 9-5=4
k=2-k=1=1
7 k²= 7 k² 8k-7k=k
16-7=9
5. 2t+3t-10+t-2=3t+4t=12&3n=3 n=3/3=1
6. 15-6=9
k=7-k=1=k=6
k*k=k² -1k-1k=-2k -1*-1=1
Penjelasan dengan langkah-langkah:
1. Konstanta= A dipindahkan ke belakang ∑
A. n n
∑ A. ui = A. ∑ ui
i=1 i=1
2. m-1 n n
∑ ui + ∑ ui = ∑ ui
i=1 i=m i=1
3. 3 2
∑ (k²+k) = ∑ (k+1) (k+2)
k=2 k=1
K² dipecah menjadi (k+1) (k+2) dan ditambah k=1 3-1 = 2 k=-2+1=k-1
4. 9 5
∑ 7 k²= 7 + ∑ (k²+8k+16)
k=2 k=1
9-5=4
k=2-k=1=1
7 k²= 7 k² 8k-7k=k
16-7=9
5. 12 12
∑ (2t+5) (t-2) = ∑ (2n²+n-10)
t=7 n=7
=2t*-2+5*t+5*-2+2t*t 2n+n-5-2
=-4t+5t+-10+2t² = n-2
= 2t+3t-10+t-2=3t+4t=12 3n=3 n=3/3=1
6. 6 15 15
∑ (k-1)² + ∑ (k-1)² = ∑ (k²-2k+1)
k=1 k=7 k=1
15-6=9
k=7-k=1=k=6
k*k=k² -1k-1k=-2k -1*-1=1
29. contoh soal pembuktian langsung, kontraposisi, kontradiksi, dan induksi matematika
Jawaban:
Pembuktian langsung, kontraposisi, kontradiksi, dan induksi matematika akan dijelaskan dalam artikel ini secara mudah, melalui contoh di kehidupan sehari-hari dan lingkungan sekitar.
Logika dalam matematika? Pembuktian? Gimana tuh maksudnya? Logika dalam matematika bisa diingat kembali materinya di logika . bulat.
Bila definisinya sudah benar, kita ke pernyataan selanjutnya. Karena kita ingin membuktikan jumlah dua bilangan genap, maka berdasarkan definisi di atas, jumlah dua bilangan genap bisa kita jabarkan seperti ini:
m + n = 2k + 2i
Kemudian, kamu juga butuh sedikit memanipulasi penjumlahan itu agar bisa mendapat bentuk yang diinginkan. m + n = 2k + 2i bisa kita ubah menjadi 2 (k + i), dengan (k + i) juga bilangan bulat.
m + n = 2k + 2i = 2 (k + i), dengan (k + i) bilangan bulat.
Artinya, kalau mau membuktikan pernyataan p akan menghasilkan pernyataan q itu benar, maka buktikan aja pernyataan bukan q maka menghasilkan bukan p. Bingung, ya? Nah, untuk memahami lebih lanjut, coba deh buktikan:
“Bila n bilangan bulat dan 7n + 9 bilangan genap, maka n bilangan ganjil”
Gimana nih membuktikannya pakai kontraposisi? Misalnya, pernyataan p adalah 7n + 9 bilangan genap, dan pernyataan q adalah n bilangan ganjil. Maka, yang kita buktikan adalah bila n bukan bilangan ganjil (bilangan genap), maka 7n + 9 bukan bilangan genap (bilangan ganjil). Jadi, negasi dari kebalikannya, ya. Penyelesaian lebih lanjutnya begini:
Misalkan ada bilangan genap sembarang n. Dari definisi bilangan genap, n dapat dinyatakan sebagai berikut:
n = 2k, dengan k bilangan bulat.
Selanjutnya, karena n = 2k, maka 7n + 9 bisa dituliskan menjadi 7n + 9 = 7(2k) + 9 atau 2 (7k) + 9.
contoh pembuktian kontraposisi
Nah, 7k + 4 sudah pasti merupakan bilangan bulat juga karena di awal, kita memisalkan k adalah bilangan bulat. 7k + 4 bisa dimisalkan dengan m, sehingga:
2(7k) + 9 = 2m + 1, dengan m bilangan bulat.
Sesuai definisi bilangan ganjil, maka 2(7k) + 9 atau 7n + 9 adalah bilangan ganjil. Terbukti kan bila n bukan bilangan ganjil, maka 7n + 9 juga bukan bilangan genap. Secara nggak langsung, dapat disimpulkan deh bila n bilangan bulat dan 7n + 9 bilangan genap maka n bilangan ganjil, hehehe...
3. Kontradiksi
Kontradiksi ini juga termasuk pembuktian tidak langsung. Kita memanfaatkan prinsip logika matematika, yaitu:
Jika p → q bernilai benar padahal q salah, maka p salah
Hmm gimana tuh maksudnya? Coba deh kita buktikan pernyataan ini dengan kontradiksi.
“Bila n bilangan bulat dan n bilangan genap, maka 7n + 9 bilangan ganjil”
Nah, kita misalkan dulu pernyataan p adalah n bilangan genap dan pernyataan q adalah 7n + 9 adalah bilangan ganjil. Maka, dengan kontradiksi, kita buktikan pernyataan n bukan bilangan genap (bilangan ganjil), maka untuk 7n + 9 adalah bilangan ganjil benar akan muncul suatu kontradiksi. Coba deh perhatikan penyelesaiannya di bawah ini:
Misalkan ada bilangan ganjil sembarang n. Dari definisi bilangan ganjil, n dapat dinyatakan sebagai berikut:
n = 2k + 1, dengan k bilangan bulat.
Karena n = 2k + 1, maka 7n + 9 dapat dituliskan menjadi:
contoh pembuktian kontradiksi
7k + 5 pastinya merupakan bilangan bulat juga karena k adalah bilangan bulat. Kita bisa misalkan 7k + 5 dengan m, sehingga:
7n + 9 = 14k + 10 = 2m
Nah, 14k + 10 atau 7n + 9 dapat dinyatakan dalam 2 kali suatu bilangan bulat. Padahal, itu merupakan definisi bilangan genap. Berarti, kontradiksi dengan asumsi awal yang menyatakan 7n + 9 adalah bilangan ganjil. Itu artinya, asumsi awal n adalah bilangan ganjil, salah.
Lihat kan, ternyata ada kontradiksi bila n adalah bilangan ganjil? Maka, secara tidak langsung, pernyataan "bila n bilangan genap, maka 7n + 9 bilangan ganjil" benar.
4. Induksi Matematika
Induksi matematika digunakan untuk membuktikan suatu pernyataan untuk setiap bilangan asli. Untuk melakukan pembuktian menggunakan induksi matematika, ada langkah-langkahnya, nih. Bagaimana langkah-langkah melakukan induksi matematika?
langkah-langkah dalam induksi matematika 1
Wadu, maksudnya apa tuh ya langkah-langkah di atas. Oke, biar nggak bingung, mending langsung aja kita aplikasikan ke contoh soal di bawah ini.
Buktikan deret 1 + 2 + 3 + ... + n = 1/2 n(n+1)
Langkah pertama
Kita akan buktikan untuk n = 1 adalah benar. Karena pernyataan tersebut merupakan deret, maka n di sini maksudnya jumlah suku pertama deret tersebut. Nah, yang diminta n = 1, berarti jumlah suku pertamanya hanyalah 1. Kemudian, kita substitusi semua n dengan 1. Jadi,
contoh pembuktian induksi matematika
Langkah pertama terbukti ya karena ruas kiri dan kanannya sama.
Langkah kedua
Kita asumsikan pernyataan benar untuk n = k. Berarti jumlah suku pertamanya itu dari 1 + 2 + 3 + ... + k, ya. Sehingga,
contoh pembuktian induksi matematika
Pernyataan tersebut kita asumsikan atau kita anggap benar. Kemudian, kita lanjut ke langkah ketiga.
30. Buatlah 3 soal induksi matematika berserta jawabanya
Buatlah 3 soal induksi matematika berserta jawabannya
Buktikan bahwa: 1 + 2 + 3 + .... + n = ½ n (n + 1), untuk setiap n bilangan asli Buktikan pernyataan P(n) = n(n + 1)(n + 5) adalah bilangan kelipatan 3, untuk setiap n bilangan asli Buktikan bahwa 5ⁿ – 1 habis dibagi 4, untuk setiap n bilangan asliAda dua langkah dalam induksi matematika yaitu:
Buktikan bahwa untuk n = 1 benar Dengan mengasumsikan bahwa untuk n = k benar, maka buktikan bahwa untuk n = k + 1 juga benar Pembahasan1. Buktikan bahwa: 1 + 2 + 3 + .... + n = ½ n (n + 1), untuk setiap n bilangan asli
Pembuktian
Akan dibuktikan untuk n = 1 benar
n = ½ n (n + 1)
1 = ½ . 1 . (1 + 1)
1 = ½ . 1 . 2
1 = 1
(BENAR)
Jika untuk n = k benar yaitu
1 + 2 + 3 + .... + k = ½ k (k + 1)Akan dibuktikan untuk n = (k + 1) juga benar
1 + 2 + 3 + … + k + (k + 1) = ½ (k + 1) ((k + 1) + 1)
|___________|
½ k (k + 1) + (k + 1) = ½ (k + 1) (k + 2)
½ k (k + 1) + 1 (k + 1) = ½ (k + 1) (k + 2)
(k + 1) (½ k + 1) = ½ (k + 1) (k + 2)
(k + 1) . ½ (k + 2) = ½ (k + 1) (k + 2)
½ (k + 1) (k + 2) = ½ (k + 1) (k + 2)
|____________________|
Terbukti benar
Jadi terbukti bahwa 1 + 2 + 3 + .... + n = ½ n (n + 1), untuk setiap n bilangan asli
2. Buktikan pernyataan P(n) = n(n + 1)(n + 5) adalah bilangan kelipatan 3, untuk setiap n bilangan asli
Pembuktian
Akan dibuktikan untuk n = 1 benar
P(n) = n(n + 1)(n + 5)
P(1) = 1(1 + 1)(1 + 5)
P(1) = 1(2)(6)
P(1) = 12
(benar bahwa 12 kelipatan dari 3)
Jika untuk n = k benar yaitu
P(k) = k(k + 1)(k + 5) adalah bilangan kelipatan 3Akan dibuktikan untuk n = (k + 1) juga benar
P(k + 1) = (k + 1) ((k + 1) + 1) ((k + 1) + 5)
P(k + 1) = (k + 1) (k + 2) (k + 6)
P(k + 1) = (k + 1) (k² + 6k + 2k + 12)
P(k + 1) = (k + 1) (k² + 8k + 12)
P(k + 1) = (k + 1) (k² + 5k + 3k + 12)
P(k + 1) = (k + 1) ((k² + 5k) + (3k + 12))
P(k + 1) = (k + 1)(k² + 5k) + (k + 1)(3k + 12)
P(k + 1) = (k + 1)k(k + 5) + (k + 1)3(k + 4)
P(k + 1) = k(k + 1)(k + 5) + 3(k + 1)(k + 4)
k(k + 1)(k + 5) adalah bilangan kelipatan 3 (berdasarkan n = k) 3(k + 1)(k + 4) sudah jelas merupakan bilangan kelipatan 3Jadi
P(k + 1) = k(k + 1)(k + 5) + 3(k + 1)(k + 4) juga merupakan bilangan kelipatan 3
Jadi terbukti bahwa P(n) = n(n + 1)(n + 5) adalah bilangan kelipatan 3, untuk setiap n bilangan asli
3. Buktikan bahwa 5ⁿ – 1 habis dibagi 4, untuk setiap n bilangan asli
Pembuktian
Akan dibuktikan untuk n = 1 benar
5ⁿ – 1
= 5¹ – 1
= 5 – 1
= 4
(benar bahwa 4 habis dibagi 4ᵏ)
Jika untuk n = k benar yaitu
5ᵏ – 1 habis dibagi 4Akan dibuktikan untuk n = (k + 1) juga benar
5ᵏ⁺¹ – 1
= 5ᵏ . 5¹ – 1
= 5ᵏ . 5 – 1
= 5ᵏ . (4 + 1) – 1
= 5ᵏ . 4 + 5ᵏ . 1 – 1
= 4 . 5ᵏ + 5ᵏ – 1
= (4 . 5ᵏ) + (5ᵏ – 1)
(4 . 5ᵏ) sudah jelas habis dibagi 4 (5ᵏ – 1) juga habis dibagi 4 (berdasarkan n = k)Jadi (4 . 5ᵏ) + (5ᵏ – 1) habis dibagi 4
Sehingga terbukti bahwa 5ⁿ – 1 habis dibagi 4, untuk setiap n bilangan asli
Pelajari lebih lanjutContoh soal lain tentang induksi matematika
1 + 3 + 5 + … + (2n – 1): brainly.co.id/tugas/4665117 Buktikan jumlah n bilangan ganjil pertama adalah n²: brainly.co.id/tugas/12819930 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + n(n + 1) = ⅓ n(n + 1)(n + 2): brainly.co.id/tugas/11180811------------------------------------------------
Detil JawabanKelas : 11
Mapel : Matematika
Kategori : Induksi Matematika
Kode : 11.2.2
#AyoBelajar
31. soal induksi matematika
Materi Induksi Matematika
Lanjutan:
Ternyata P(k) mengimplikasikan P(k+1). Menurut prinsip induksi matematis, P(n) telah terbukti benar
32. contoh soal induksi matematika ketidaksamaan beserta pembahasannya
semoga membantu...
maaf bila kurang tepat
33. Berikan 3 soal dari materi induksi matematika serta jawabannya
Contoh 1
Buktikan 2 + 4 + 6 + … + 2n = n(n + 1), untuk setiap n bilangan asli.
Jawab :
P(n) : 2 + 4 + 6 + … + 2n = n(n + 1)
Akan dibuktikan n = (n) benar untuk setiap n ∈ N
Langkah Pertama :
Akan ditunjukkan n=(1) benar
2 = 1(1 + 1)
Jadi, P(1) benar
Langkah Kedua :
Asumsikan n=(k) benar yaitu
2 + 4 + 6 + … + 2k = k(k + 1), k ∈ N
Langkah Ketiga
Akan ditunjukkan n=(k + 1) juga benar, yaitu
2 + 4 + 6 + … + 2k + 2(k + 1) = (k + 1)(k + 1 + 1)
Dari asumsi :
2 + 4 + 6 + … + 2k = k(k + 1)
Tambahkan kedua ruas dengan uk+1 :
2 + 4 + 6 + … + 2k + 2(k + 1) = k(k + 1) + 2(k + 1)
2 + 4 + 6 + … + 2k + 2(k + 1) = (k + 1)(k + 2)
2 + 4 + 6 + … + 2k + 2(k + 1) = (k + 1)(k + 1 + 1)
Jadi, n = (k + 1) benar
Contoh 2
Gunakanlah induksi matematika untuk membuktikan persamaan
Sn = 1 + 3 + 5 +7 +…+ (2n-1) = n2 untuk semua bilangan bulat n ≥ 1.
Jawab :
Langkah Pertama :
Akan ditunjukkan n=(1) benar
S1 = 1 = 12
Langkah Kedua
Asumsikan bahwa n=(k) benar, yaitu
1 + 3 + 5 +7 +...+ 2(k)-1 = k2
1 + 3 + 5 +7 +...+ (2k-1) = k2
Langkah Ketiga
Buktikan bahwa n=(k+1) adalah benar
1 + 3 + 5 +7 +...+ (2k-1) + [2(k+1) - 1] = (k+1)2
ingat bahwa 1 + 3 + 5 +7 +...+ (2k-1) = k2
maka
k2 + [2(k+1) - 1] = (k+1)2
k2 + 2k + 1 = (k+1)2
(k+1)2 = (k+1)2
maka persamaan di atas terbukti
Contoh 3
Buktikan 1 + 3 + 5 + … + (2n − 1) = n2 benar, untuk setiap n bilangan asli
Jawab :
Langkah Pertama :
Akan ditunjukkan n=(1) benar
1 = 12
Jadi, P(1) benar
Langkah Kedua:
Asumsikan n=(k) benar, yaitu
1 + 3 + 5 + … + (2k − 1) = k2, k ∈ N
Langkah Ketiga :
Akan ditunjukkan n=(k + 1) juga benar, yaitu
1 + 3 + 5 + … + (2k − 1) + (2(k + 1) − 1) = (k + 1)2
Dari asumsi :
1 + 3 + 5 + ... + (2k − 1) = k2
Tambahkan kedua ruas dengan uk+1 :
1 + 3 + 5 + ... + (2k − 1) + (2(k + 1) − 1) = k2 + (2(k + 1) − 1)
1 + 3 + 5 +...+ (2k − 1) + (2(k + 1) − 1) = k2 + 2k +1
1 + 3 + 5 + ... + (2k − 1) + (2(k + 1) − 1) = (k + 1)2
Jadi, n=(k + 1) juga benar
Pembagian
Contoh 4
Buktikan n3 + 2n habis dibagi 3, untuk setiap n bilangan asli
Baca juga: Rumus Energi Kinetik Beserta Penjelasan dan Contoh Soal Lengkap
Jawab :
Langkah Pertama:
Akan ditunjukkan n=(1) benar
13 + 2.1 = 3 = 3.1
Jadi, n=(1) benar
Langkah Kedua:
Asumsikan n=(k) benar, yaitu
k3 + 2k = 3m, k ∈ NN
Langkah Ketiga:
Akan ditunjukkan n=(k + 1) juga benar, yaitu
(k + 1)3 + 2(k + 1) = 3p, p ∈ ZZ
(k + 1)3 + 2(k + 1) = (k3 + 3k2 + 3k + 1) + (2k + 2)
(k + 1)3 + 2(k + 1) = (k3 + 2k) + (3k2 + 3k + 3)
(k + 1)3 + 2(k + 1) = 3m + 3(k2 + k + 1)
(k + 1)3 + 2(k + 1) = 3(m + k2 + k + 1)
Karena m bilangan bulat dan k bilangan asli, maka (m + k2 + k + 1) adalah bilangan bulat.
Misalkan p = (m + k2 + k + 1), maka
(k + 1)3 + 2(k + 1) = 3p, dengan p ∈ ZZ
Jadi, n=(k + 1) benar
Pertidaksamaan
Contoh 5
Buktikan untuk setiap bilangan asli n ≥ 2 berlaku
3n > 1 + 2n
Jawab :
Langkah Pertama:
Akan ditunjukkan n=(2) benar
32 = 9 > 1 + 2.2 = 5
Jadi, P(1) benar
Langkah Kedua:
Asumsikan n=(k) benar, yaitu
3k > 1 + 2k, k ≥ 2
Langkah Ketiga:
Akan ditunjukkan n=(k + 1) juga benar, yaitu
3k+1 > 1 + 2(k + 1)
3k+1 = 3(3k)
3k+1 > 3(1 + 2k) (karena 3k > 1 + 2k)
3k+1 = 3 + 6k
3k+1 > 3 + 2k (karena 6k > 2k)
3k+1 = 1 + 2k + 2
3k+1 = 1 + 2(k + 1)
Jadi, n=(k + 1) juga benar
34. buatlah contoh soal dan jawaban dari pembuktian menggunakan metode induksi matematika dan rekursi
Jawaban:
**Contoh Soal Pembuktian dengan Metode Induksi Matematika:**
Pertimbangkan pernyataan berikut untuk setiap bilangan bulat positif \(n\):
\[1 + 2 + 3 + \ldots + n = \frac{n(n+1)}{2}\]
Buktikan pernyataan ini menggunakan metode induksi matematika.
**Jawaban:**
*Langkah Basis:*
Untuk \(n = 1\), kita memiliki \(1 = \frac{1(1+1)}{2}\), yang benar.
*Langkah Induksi:*
Misalkan pernyataan tersebut benar untuk suatu \(k\), yaitu \(1 + 2 + 3 + \ldots + k = \frac{k(k+1)}{2}\).
Sekarang, kita perlu membuktikan bahwa pernyataan tersebut benar untuk \(k + 1\).
\[1 + 2 + 3 + \ldots + k + (k + 1) = \frac{k(k+1)}{2} + (k + 1)\]
\[= \frac{k(k+1) + 2(k + 1)}{2}\]
\[= \frac{(k + 1)(k + 2)}{2}\]
Jadi, pernyataan tersebut benar untuk \(k + 1\), dan dengan demikian benar untuk setiap bilangan bulat positif \(n\).
---
**Contoh Soal Rekursi:**
Misalkan \(F(0) = 0\) dan \(F(1) = 1\), dan untuk \(n \geq 2\), \(F(n) = F(n-1) + F(n-2)\). Tentukan nilai \(F(5)\).
**Jawaban:**
Kita dapat menggunakan rumus rekursif untuk menghitung \(F(5)\):
\[F(5) = F(4) + F(3)\]
\[= (F(3) + F(2)) + (F(2) + F(1))\]
\[= ((F(2) + F(1)) + (F(1) + F(0))) + (F(1) + F(0))\]
\[= ((F(1) + F(0)) + F(1) + F(1) + F(0))\]
\[= (1 + 0 + 1 + 1 + 0)\]
\[= 3\]
Jadi, \(F(5) = 3\).
35. soal dan pembahasan tentang induksi matematika
b. merah ---->x + y < 2
biru ----> -3x + 2y > 6
hijau & ungu ------>3 < x < 4
36. contoh soal persamaan induksi matematika
smg membantu guyssss............
37. Tuliskan 3 contoh soal tentang pembuktian dengan menggunakan induksi matematika Jadi dimintai contoh soal ya guys
[tex]\boxed{\boxed{\bold{Pembahasan~Soal~!}}}}}[/tex]
Contoh Soal pembuktian menggunakan induksi matematika
1.1 + 2 + 3 ......+ n[tex]= \frac{1}{2}n(n+1)[/tex]
Pembahasanuntuk menggunakan persamaan dari soal diatas,kita menggunakan induksi matematika,kita menggunaka Dua langkah sebagai berikut :
[tex]\boxed{\boxed{\bold{~Pertama~}}}}}[/tex]
Berarti untuk n = 2 sudah terbukti dan telah berlaku n = 1 itu (Benar)
Maka,
[tex]n = \frac{1}{2}n(n+1)\\1 = \frac{1}{2}.1.(1+1)\\1=\frac{1}{2}.2\\ 1=1[/tex]
↑
(TERBUKTI)
[tex]\boxed{\boxed{\bold{Step~Kedua~}}}}}[/tex]
kita diasumsikan persamaan 1.2 + 2.3 + 3.4 + …..+ n = \frac{1}{2}n(n+1),berlaku untuk n = k, Berarti k itu sembarang bilangan asli yang (k > 1),Berarti diperoleh menjadi : 1.2 + 2.3 + 3.4 + …..+ k (k + 1)= [tex]\frac{1}{2}.k.(k+1).[/tex]
Kita Buktikan bahwa n = 1,itu Benar
[tex]1.2 + 2.3 + 3.4 +......+ k (k+1) = \frac{1}{2}~(k+1)~(k+1)+1)[/tex]
Ruas Kanan
[tex]=\frac{1}{2} ~(k (k + 1) + (k + 1)) \\=\frac{1}{2}~(k^2+\frac{1}{2}k + k + 1) \\=\frac{1}{2}~(k^2 + k+2k + 2) \\=\frac{1}{2}~(k^2+3k+2) \\=\frac{1}{2}~(k+1)~(k+2)[/tex]
Ruas Kiri
[tex]= \frac{1}{2}~(k+1)~(k+2)\\= \frac{1}{2}~(k+1)~(k+2)\\= \frac{1}{2}~(k+1)~(k+2)\\= \frac{1}{2}~(k+1)~(k+2)\\= \frac{1}{2}~(k+1)~(k+2)[/tex]
↑
(TERBUKTI)
2. 2+4+6+8 ... +2n = n(n+1) untuk setiap bilangan asli n.
[tex]\boxed{\boxed{\bold{Pembahasan~Soal~}}}}}[/tex]
[tex]\boxed{{{Step~Pertama~}}}}}[/tex]
[tex]Kita~Buktikan~dengan~n~=~1,Maka~diperoleh :\\2n=n(n+1)\\2(1)=1(1+1)\\2=1.2\\2=2~(Benar)\\\\\boxed{{{Step~Kedua~}}}}}[/tex]
Kita buktikan bahwa n = k,Maka deret tersebut menjadi :
2 + 4 + 6 + 8 ... + 2k = k(k + 1)
Kita asumsikan n = k Benar
[tex]Kita~buktikan~n =~k+1,Menjadi :\\2 + 4 + 6 + 8 ... + 2k + 2 (k + 1) = (k + 1)^2+ (k + 1)\\\\k^2 + k + 2k + 2 = (k + 1)^2 + (k + 1)\\\\(k^2 + 2k + 1) (k + 1) = (k + 1)^2 + (k + 1)\\\\(k + 1)^2 + (k + 1) = (k + 1)^2 + (k + 1)[/tex]
↑
(TERBUKTI)
3.1² + 2² + 3² +....+ n² = [tex]\frac{1}{6}[/tex] n(n + 1)(2n + 1)
Kita Langsung aja !
[tex]\boxed{{{Step~Pertama~}}}}}[/tex]
Untuk membuktikan n = 1 benar
[tex]1^2 =\frac{1}{6}. 1 (1 + 1) . (2(1) + 1)\\ 1=\frac{1}{6}.(1)(2). (2+1)\\1=\frac{1}{6}.2.3\\ 1=\frac{1}{6}.6\\ 1=1[/tex]
↑
(TERBUKTI)
[tex]\boxed{{{Step~Kedua~}}}}}[/tex]
Kita buktikan bahwa n = k,Maka deret tersebut menjadi :
[tex]1^2+ 2^2 + 3^2 +....+ k^2 = \frac{1}{6} k(k + 1)(2k + 1)[/tex]
[tex]\boxed{{{Step~Ketiga~}}}}}[/tex]
Kita asumsikan n = (k + 1) Benar
[tex]1^2 + 2^2 + 3^2 +....+ k^2 + (k + 1)^2 = \frac{1}{6} (k + 1)((k + 1) + 1)(2(k + 1) + 1)[/tex]
Ruas Kanan
= [tex]\frac{1}{6} k(k + 1)(2k + 1) + (k + 1)^2[/tex]
= [tex](k + 1)[\frac{1}{6} k(2k + 1) + (k + 1)][/tex]
= [tex]\frac{(k + 1) (2k^2 + k + 6(k + 1))}{6}[/tex]
= [tex](k + 1) \frac{1}{6} (2k^2 + k + 6k + 6)[/tex]
= [tex]\frac{1}{6} (k + 1)(2k^2 + 7k + 6)[/tex]
= [tex]\frac{1}{6} (k + 1)(k + 2)(2k + 3)[/tex]
Ruas Kiri
= [tex]\frac{1}{6} (k + 1)(k + 2)(2k + 2 + 1)[/tex]
= [tex]\frac{1}{6} (k + 1)(k + 2)(2k + 3)[/tex]
= [tex]\frac{1}{6} (k + 1)(k + 2)(2k + 3)[/tex]
= [tex]\frac{1}{6} (k + 1)(k + 2)(2k + 3)[/tex]
= [tex]\frac{1}{6} (k + 1)(k + 2)(2k + 3)[/tex]
= [tex]\frac{1}{6} (k + 1)(k + 2)(2k + 3)[/tex]
✍✍✍✍✍✍✍✍✍✍✍✍✍✍✍✍✍✍✍✍
Pelajari lebih lanjut Materi Tentang Induksi MatematikaContoh soal lain tentang induksi matematika
1 + 3 + 5 + … + (2n – 1): brainly.co.id/tugas/46651171.2 + 2.3 + 3.4 + … + n(n + 1) = ⅓ n(n + 1)(n + 2): brainly.co.id/tugas/11180811Buktikan jumlah n bilangan ganjil pertama adalah n²: brainly.co.id/tugas/128199301.2 + 2.3 + 3.4 + ... + n (n+2) = n (n+1) (n+2) /3 : brainly.co.id/tugas/30478404✍✍✍✍✍✍✍✍✍✍✍✍✍✍✍✍✍✍✍✍✍
→Detail Jawaban←Kelas : 11
Mapel : Matematika
Kategori : Induksi Matematika
Kode : 11.2.2
Kata Kunci : membuktikan rumus, deret bilangan, induksi matematika
38. Bantuin dong soal induksi matematika
Jawab:
induksi matematika
pada soal di perbaiki,
semula 2 + 5 + 8 + ... + (3n + 1) = 1/2 n ( 3n+1)
diperbaiki seharusnya 2 + 5 + 8 + ... + (3n - 1) = 1/2 n ( 3n+1)
Penjelasan dengan langkah-langkah:
2 + 5 + 8 + ... + (3n - 1) = 1/2 n ( 3n+1)
i) n = 1 --> (3.1 - 1) = 1/2 (1)(3.1 + 1) --> (2) = (2) (benar)
ii) n = k --> 2 + 5 + 8 + ... + (3k - 1) = 1/2 k ( 3k +1)
iii) n = k + 1 --> 2 + 5 + 8 + ... + (3k - 1)+ 3 (k+1) - 1 = 1/2 (k+1) ( 3(k+1) +1)
1/2 k (3k+ 1) + 3k + 3 - 1 = 1/2 (k+1)(3k + 3 +1)
1/2 k( 3k + 1) + 3k + 2 = 1/2 (k+1)(3k+4)
1/2 k(3k+1) + 6/2 k + 4/2 = 1/2 (k+1) (3k + 4)
1/2 { k(3x +1) + 6k + 4 } = 1/2 (k+1)(3k + 4)
1/2 { 3x² + k + 6k + 4 } = 1/2 (k+1)(3k + 4)
1/2 (3k²+ 7k + 4) = 1/2 (k+1)(3k+4)
1/2 (k+1)(3k+4) = 1/2 (k+1) (3x+4)
ruas kiri = ruas kanan (terbukti)
39. INDUKSI MATEMATIKABuktikan dengan induksi matematika bahwa n=n+1 bernilai benar!soal di pict!
Materi Induksi Matematika
(kebetulan saya ada catatannya)
40. contoh induksi matematika paling mudah
bilangan bulat dan bilangan operasi hitung
Penjelasan dengan langkah-langkah:
bilangan prima dan bilangan ganjill
